整式-七年级-知识点汇总-沪教版

第九章-整式-七年级(上)-知识点

汇总-沪教版(总5页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--

--内页可以根据需求调整合适字体及大小--

第九章 整式

字母表示数 代数式

1、 代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数

或字母也是代数式。 2、 代数式的书写：

1) 代数式中出现乘号通常写作“· ”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则 2) 数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面 3) 带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式 4) 相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式 5) 代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号

代数式的值

1、 用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。 2、 注意：

1) 代数式中省略了乘号，带入数值后应添加× 2) 若带入的值是负数时，应添上括号

3) 注意解题格式规范，应写“当……时，原式=……” 4) 在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义

整式

1、 由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母也是单项式

2、 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数

3、 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数

4、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母

的项叫做常数项

5、 多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 6、 整式：单项式和多项式统称为整式

合并同类项

1、 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项

2、 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。一个多项式合并后含

有几项，这个多项式就叫做几项式

3、 合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的

指数不变

整式的加减 1、 去括号法则：

1) 括号前面是\"＋\"号，去掉\"＋\"号和括号，括号里各项的不变号

2) 括号前面是\"－\"号，去掉\"－\"号和括号，括号里的各项都变号

2

2、 添括号法则

1) 所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号 2) 所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号

同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加：am·an=am+n （m、n都是正整数) 幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘：（am）n=amn(m、n都是正整数) 积的乘方

1、 积的乘方等于各因式乘方的积：（ab）=ab (m、n都是正整数)

2、 任何一个不等零的数的-p(p是正整数)指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数：

n

n

n

a-p= a p 整式的乘法

1 (a≠0,p是正整数)

1、 单项式与单项式相乘：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

2、 单项式与多项式相乘：

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 ａ（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ａｎ

注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化

3、 多项式与多项式相乘：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ 平方差公式

1、 内容：（ａ＋ｂ）•（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ²

2、 意义：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 3、 特征：

1) 左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数 2) 右边是乘式中两项的平方差

3) 公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式

4、 几何意义：平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式 5、 拓展：

1) 立方和公式： （ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）＝ａ³＋ｂ³

2) 立方差公式： （ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）＝ａ³－ｂ³

（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ²＋…＋ａ²ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ-ｂ

完全平方公式

1、 内容：

3

（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋ｂ²＋２ａｂ （ａ－ｂ）²＝ａ²＋ｂ²－２ａｂ

2、 意义：

两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的2倍

3、 特征：

1) 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其 中有两项是公式左边

二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央。”

2) 公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式 4、 拓展：

1) （ａ＋ｂ＋ｃ）²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc 2) （ａ＋ｂ）³＝ａ³＋ｂ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ² 3) （ａ－ｂ）³＝ａ³－ｂ³－３ａ²ｂ＋３ａｂ² 提取公因式法

1、 因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式

因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积 2、 注意：

① 因式分解的要求：

1) 结果一定是积的形式，分解的对象是多项式 2) 每个因式必须是整式 3) 各因式要分解到不能分解为止

② 因式分解与整式乘法的关系：是两种不同的变形过程，即互逆关系。

3、 提公因式法分解因式：

ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。

这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。

4、 确定公因式方法：

1) 系数：取多项式各项系数的最大公约数。

2) 字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。

公式法

1、 平方差公式：ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）•（ａ－ｂ） 2、 完全平方公式：ａ²＋ｂ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²

ａ²＋ｂ²－２ａｂ＝（ａ－ｂ）²

3、 立方和与立方差公式：ａ³＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）

ａ³－ｂ³＝（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）

4、 注意：

4

1) 公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式

2) 选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式应考虑平方差或立方

和、立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式

十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法

ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ） 分组分解法：

1、 将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解 2、 适用范围：适合四项以上的多项式的分解

3、 分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式 4、 其他方法：

求根公式法：若ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的两根是ｘ１、ｘ２， ａｘ²+ｂｘ+ｃ=ａ（ｘ-ｘ１）（ｘ-ｘ２）

5、 因式分解的一般步骤及注意问题：

1) 对多项式各项有公因式时，应先提供因式。

2) 多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项

式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。

同底数幂的除法

1、 同底数幂相除，底数不变，指数相减：a

m

÷an=am-n(a≠0,mn

0

都是正整数，且m＞n)

2、 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1：a=1（a≠0）

单项式除以单项式

1、 单项式与单项式相除的法则：

单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

2、 注意：

1) 两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可 2) 只在被除式里含有的字母不不要漏掉

多项式与单项式相除

1、 多项式与单项式相除的法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项

除以这个单项式，再把所得的商相加，即

（ｍａ+ｍｂ+ｍｃ+ｄｍ）÷ｍ=ａｍ÷ｍ+ｂｍ÷ｍ+ｃｍ÷ｍ+ｄｍ÷ｍ。

2、 注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不

能这样计算的。

5

3、 整式的混合运算：关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去

小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括号里的。

※ 内容整理 幂 的 运 算

（1）同底数幂相除，底数不变，指数相减：a÷a=a(a≠0,mn都是正整数，且m＞n)

（2）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1：a=1（a≠0）

0

m

n

m-n

am·an=am+n (am)n=amn (ab)=ab nnn单项式的乘法 因 多项式的乘法 乘法公式 式 分 解 提公因式法 公 式 法 am÷an=am-n 单项式的除法 多项式除以单项式 6