万能公式

2tan221tan2,cos1tan22222,2222tantan1tan22例1 求证：sin1tan22

证：1sinsin12sinsin2cos2tan21tan22cos22

2coscos1cossin22sincos22221tan1tan22

222 3tansincos2sincos2cos222tan21tan222sin2

注意：1上述三个公式统称为万能公式。

2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切 即：

f(tan2)所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，

可以使解题过程简洁

3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 例2 已知 解：∵ ∴

2sincossin3cos55，求3cos 2 + 4sin 2 的值。

2sincossin3cos2tan1tan3 ∴cos   0 (否则 2 =  5 )

5 解之得：tan  = 2

22 ∴原式

3(1tan1tan)42tan1tan23(12)122242212275

练习：

1．已知sin + sin = 1，cos + cos = 0，试求cos2 + cos2的值。(1) 2．已知

2，0，tan =13，tan =17，求2 +  的

大小。(34)

453．已知sinx =，且x是锐角，求sinx2cosx2的值。(355,55)

4．下列函数何时取得最值？最值是多少？ 1y 2y 3ysin2xcos2x

7)

(ym(ym(ymaxx1232,ym,yminn121232))

2sinxcos2xaicos(2x27)2cos(x

4a3,ymxin)

5．若、、为锐角，求证： +  +  = 6．求函数

2

122)

f(x)cosxsinx在[4,4]上的最小值。(