第１５卷第１期 高等数学研究 Ｖｏｌ＿１５。Ｎｏ．１ ２０１２年１月 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｊａｎ．，２０１２ 概率不等式证明中的一类错误 蔺云 （嘉应学院数学系，广东梅州５１４０１５） 摘要 剖析和纠正证明概率不等式时出现的一处“类型式”错误．若不等式含期望或方差，但其两端的随机 变量不同，并且一随机变量是另一随机变量的函数，则在证明过程中一定要注意两个随机变量各自对应的两个实 变量之间的区分与联系，切不可搞混淆． 关键词 概率不等式；随机变量；数学期望 中图分类号 Ｏ２１１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１２）０１—００４３—０３ 文 ］４２ 关于概率不等式的证明中，对“不等 Ｐ（ｆ 『≥ｅ）一ｐ（ｅ／￣≥ｅ ）一 式含期望（或）方差，但其两端随机变量不同”的情 形列举了３例，其证法中存在着共同的且不易察觉 ｆｅｘ２￣ｅ￣２ ）ｄｚ≤ ≥ ｚ ）ｄｚ≤ 的错误．该书的３个配套习题的答案提示也存在同 ｅｘ２厂（ｚ） ：：： ， 样的错误 １］４ ．鉴于这是一种概率证法中的 ｅ Ｊ一 ｅ “类型式”错误，又因为该书作为概率论与数理统计 Ｐ（１ Ｉ≥￡）一Ｐ（Ｉ｛Ｉ ≥￡ ）一 学习指导书和考研指南，从１９９９年的第一版到２００６ 蒯ｚ≤ ， ≤ 年的第二版，曾多次印刷，印数达数十万册，发行量 颇大，影响范围甚广，故有必要对这类证法进行深入 Ｅ Ｊ ｒ Ｉ ｘ ｆｚ） 一 Ｅ ， 剖析，以求对准确掌握随机变量函数的数学期望概 Ｐ（ ≥口）一Ｐ（ｅ ≥ ）一 念和公式内涵，深刻理解概率论的思想方法，学会概 率推证提供帮助． ｊ’ ≥ ≤』 ≥ 言 ≤ 例１Ⅲ 。 设随机变量 的函数ｅ 的期望 ｃ洲ｚ一 ． Ｅ（ｅ ）存在，证明对任意￡＞０，有 以上推证中的错误均发生在第二步和最后一 Ｐ（ ≥￡）≤ ． ｅ 步．一维连续型随机变量 的函数叩一ｇ（Ｏ仍是一 例２Ⅲ ∞ 证明马尔科夫不等式，若连续型 维连续型随机变量，它在某区间上取值的概率，等于 随机变量 有Ｅ（１ １）＜＋ＯＯ，（ｒ＞０为常数），则对 它的概率密度在此区间上的积分值，然而第二步推 任意ｅ＞０，有 得的积分限是含ｚ的函数不等式，式中的实变量ｚ Ｐ（ ≥￡）≤匹 对应的是随机变量 ，而被积函数厂（ｚ）中的实变量 ． ｅ 却对应的是 的函数＇７＝＝＝ｇ（ ），作为积分变量的ｚ 例３［１ 设随机变量田是另一随机变量｛的函 和积分限中的ｚ表征的对象不是同一个随机变量， 数， 一ｅ膳（ ＞Ｏ），若 存在，求证对任何实数ａ， 这与定积分的定义相悖．正是由于上述推证过程中 都有 的第二步隐含了这种不易察觉的错误，导致了最后 Ｐ（ ≥ｎ）≤≤ｅ－ Ｅ（ｅ ） 一步推理的结果与函数 一ｇ（｛）数学期望的公式相 文Ｅ１］关于上述３例的证明，分别设了随机变量 悖．因为＇７一ｇ（Ｏ数学期望的公式是 的函数ｅ ，ｆ Ｉ，ｅ膳的概率密度为厂（ｚ），又因为 Ｅ［ｇ（Ｏ］一Ｉ ｇ（ ），（１ｚ）ｄｘ， ｅ ，ｅ膳（ ＞Ｏ）是单调增函数，于是分别有口］４加 式中的厂（ ）是 的概率密度，不应是 一ｇ（Ｏ的概 收稿日期：２０１０—０６—０７；修改日期；２０１１—１２—１２ 率密度． 基金项目：广东省普通高校人文社科研究项目（１０ＷＹＸＭ０４５）；广东 为了纠正上述错误，不妨选例３为范例，下面给 省高等教育教学成果奖培育项目（２０１０Ｎｏ３２８） 作者简介：蔺云（１９５６－－），男，甘肃西和人，硕士，教授，从事概率统计 出几种正确的证法． 教学和数学教育研究．Ｅｍａ［［：ｊｉａｙｉｎｌｉｎｙｕｎ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ 证法１ 设随机变量ｅ的概率密度为 （ｚ），因 ４４ 高等数学研究 ２Ｏｌ２年１月 Ｙ一 （ｉｔ＞Ｏ） 式内涵不准确的原因之一．下面借助一个引理给出 “求随机变量函数期望的公式”的一个证明． 引理ｌ［ ］ 。。 对非负连续型随机变量刁，有 一是单调增函数，当 ≥ｎ时，有 ｅ ≥ｅ ， 于是得 ｊ。Ｐ（７１＞ｙ）ｄｙ・ （２） ・・Ｐ（ ≥ａ）一）一Ｉ －ｆ√ 口 ｝ ≤Ｉ（ｘ）ｄｘ≤ √ ｎ Ｃ （ｚ） ≤ 证明 设 的概率密度为ｆ （．ｚ），则，有 ：ｅｚｒ ｚ； ． Ｐ（叩＞ 一Ｊ。ｆ￣（ｘ）ｄｘ， 证法２ 设随机变量 的概率密度为 （ｚ），因 于是 Ｙ一 （ ＞０） 是单调增函数，当Ｘ≥ｎ时，有 ｊ ｏ Ｐ（ｒ］＞ｙ＞ 一Ｊ）ｄｙ一门 （。（ｊ ， ｘ）ｄｘ）ｄｙ，， ｅ 一 ＝ｅａ（。广 ≥１， 交换等式中的积分次序得 于是得 ｊ’： Ｐ ｃ ＞ ｄ 一』： （ｊ． ｄ ）， ｃｚ ｄｚ— 、Ｅ（ ）一Ｉ 厂∈（ｘ）ｄｘ≥Ｉ ‘一 （ｘ）ｄｘ≥ 、 Ｊ ｏ ｘｆ （ｘ）ｄｘ—Ｅｒ／・ ｒ＋∞ ｅ Ｉ－厂ｅ（ｚ）ｄｘ—ｅ （ ≥口）． 命题１ 若 是一个连续型随机变量，其概率密 两端同乘以ｅ＿。。。，即得 度为 （ｚ），对任意实值函数ｇ（ｚ），若Ｅ［ｇ（ ）］存 Ｐ（ ≥口）≤ｅ－ａ，Ｅ（ｅ膳）． 在，则 证法３ 设随机变量 的概率密度为 （ ），因 Ｅ［ｇ（ ）］一Ｉ ｇ（ ） （ｘ）ｄｘ． （１） Ｙ—ｅ （ ＞Ｏ） 证明 随机变量１７取值于任意实数集Ｂ中的概 是单调增函数，当ｚ≥。时，有 率计算公式表示为 Ｙ一 ≥ ， 于是得 Ｐ（＇７∈Ｂ）＝Ｉｆ （ｘ）ｄｘ． Ｐ（ ≥＆）一尸（ ≥ ）一Ｐ（ｒ／≥ｅ ）一 若设 ＪＪ ｒ 厂＋ｅ ∞ （ｙ）ｄｙ≤Ｊ≤ Ｂ一｛ｚ：ｇ（ｚ）＞Ｙ）， ・Ｊ ｄ ｒ ＋∞＾Ｃ ， （ｙ）ｄｙ则显然有 （ ） ＝ ｅｇａ—ｅ Ｅ（ｅ＊）． ｛ｇ（ ）＞Ｙ）一｛ ∈Ｂ）， 证法４ 设随机变量 的概率密度为 （ ），因 因此，由引理１并考虑交换等式中的积分次序得 Ｙ—ｅ （ ＞Ｏ） Ｅ［ｇ（ ）］一Ｊｌ Ｐ（ ＞ ）ｄ — 是单调增函数，当 ≥ａ时，有 、 叩一ｅ膳≥ｅ ， Ｉ Ｐ（ ＞ｚ：ｇ（ｚ）＞ ）ｄｙ 且当Ｙ≥ 时，有 一ｙｆ （ ）≥ｅ ｆ （ｚ）， 』 （』 ： ＞ ， （ｚ）ｄｚ）ｄ 一 于是得 』 ： ＞。（ ：‘ ｄ ）厂 ｃ ｄ ＝＝ Ｅ（ｅ ）一ＥＯ１）＝Ｉ Ｙｆ （ｙ）ｄｙ≥ Ｉ ｇ（ｚ），（ｚ）ｄｚ— ｒ＋∞ ｒ＋∞ √ｅｆ ｙｆ （ｙ）ｄｙ≥ＩＪ ｅ ｅ ｆ （ｙ）ｄｙ一 Ｉ ｇ（ｚ） （ｚ）ｄｘ． Ｐ（刁≥ｅｚａ）＝＝＝ Ｐ（ｅ ≥ｅ ）一 ｅ （ ≥口）， 参考文献 两端同乘以 ，即得 Ｐ（ ≥口）≤ｅ－肛Ｅ（ ）． ［１］毛纲源．概率论与数理统计解题方法技巧归纳［Ｍ］，武 从教学角度反思，多数教科书处理求随机变量 汉：华中科技大学出版社，２００１：４２０—４２１． 函数的期望的内容，都是只叙述有关定理的条件和 ［２３罗斯．概率论基础教程［Ｍ］，赵选民，译．北京：机械电子 结论而省略了对定理的证明，这可能是导致理解公 工业出版社，２００６：１０９． 第１５卷第１期 高等数学研究 Ｖｏ１．１５。Ｎｏ．１ ２０１２年１月 ｓＴＵⅨＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ３ａｎ．，２０１２ 曲面定义的一致性 陶应奇 ，王辉 （１．中国人民武装警察部队警官学院数理教研室，四川成都６１０２１３； 二 ２．西安邮电学院自动化学院，陕西西安７１０１２１） 摘要 对一个求曲面方程的例题加以推广，数（≠１）的点的轨迹构成球面，次 得到球面的一种定义方式，即到两个任意定点的距离之比为常 从而使得所有常见二次曲面的定义在形式上趋于一致． 、 关键词 二次曲线；二次曲面；一致性 中图分类号０１４３ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１２）０１—００４５—０２ 例１ Ｅ 求与原点（）及定点Ｍ。（２，３，４）的距 可得 离之比为１：２的点的全体所组成的曲面方程． （ｚ—ｚ１）。＋（ —Ｙ１） ＋（ — １） 一 解 设Ｍ（ｘ，Ｙ，ｚ）是所求曲面方程上的任一 （（ｚ一 ） ＋（ —Ｙｚ） ＋（ｚ一 ）。）， 点，根据题意有 将上式展开，实施化简和配方，并记 １ ｚ１一 ｚ２ 一一 ’ ￣／（ｚ一２） ＋（ 一３） ＋（２—４） 一］ ’ 对上式进行化简即得所求曲面方程 ｂ＝＝ Ｙ１一 ｙ２ １一 ０ （ｚ＋吾） ＋ｃ ＋１） ＋（ ＋詈）。一 ． 。 ｌ— ２ Ｃ：＝： １一 所得方程表示一个球面． 命题１ 到任意两个不同定点的距离之比是一 Ｒ。一 。［（ 一ｚｚ）。＋ 个常数（≠１）的点的轨迹是球面． （ １一Ｙ２） ＋（ｚｌ一２２） ］， 证明 设两个不同定点的坐标分别为 则可得动点Ｍ的轨迹满足方程 Ｍ１（ｚＩ，Ｙ１，ｚ１），Ｍ２（ｚ２，Ｙ２，ｚ２）， （ｚ一口）。＋（Ｙ一６）。＋（ —ｃ） ：Ｒ ． 而Ｍ（ｘ，Ｙ， ）是动点，常数为九（ ０，九≠１），则由 这显然是一个球面． 一 推论１ 在平面上，到任意两个不同定点的距 离之比是一个常数（≠１）的点的轨迹是圆． 收稿日期：２０１０一Ｏｌ一２０；修改日期：２０１１－１２—１７ 即设两个不同定点的坐标分别为 作者简介：陶应奇（１９６５－－），男，四川资阳人，硕士，教授，主要从事概 Ｍ１－（ｚ１，Ｙ１）， Ｍ２（ｚ２，Ｙｚ）， 率与数学教育研究．Ｅｍａｉｌ：ｗｉｔａｏｙｉｎｇｑ！ｉ＠１２６．ｃｏｍ 而Ｍ（ｘ，３，）是动点，常数为九（九＞０，九≠１）．则有 Ｓｏｍｅ Ｍｉｓｔａｋｅｓ ｉｎ Ｐｒｏｖｉｎｇ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ＬＩＮ Ｙｕｎ、 （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉａｙｉｎｇ Ｃｏｌｉｅｇｅ，Ｍｅｉｚｈｏｕ ５１４０１５，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ａｎａｌｙｚｅｓ ａ ｔｙｐｅ ｏｆ ｍｉｓｔａｋｅｓ ａｐｐｅａｒｅｄ ｉｎ ｐｒｏｖｉｎｇ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｃｏｒｒｅｃｔ ｐｒｏｏｆｓ．Ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｗｈｅｎ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｖａｌｕｅ ａｎｄ ｖａｒｉａｎｃｅ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ａ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｂｏｔｈ ｓｉｄｅｓ ｍａｙ ｂｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ，ａｎｄ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅｍ ｍａｙ ｂｅ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ．Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｓｈｏｕｌｄ ｔａｋｅ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｗ０ ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅ，ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，ｖａｒｉａｎｃｅ 一